Probleme de matematica (elementara)

[March Hare]

La problema cu fesurile, i-am numerotat 1, 2, 3, (1 - cu fata la perete).
3 a raspuns ca nu stie. Ar fi putut spune ca stie doar daca ar fi vazut doua fesuri albe in fata (rezulta ca are fes negru). Inseamna ca cel putin unul din cei doi ramasi (1, 2) avea fes negru. Posibilitatile sunt:
1-alb, 2-negru
1-negru, 2-alb
1-negru, 2-negru
2 a raspuns ca nu stie. In cazul in care 1 avea fes alb, 2 stia ca are fes negru. Prin urmare, 1 are fes negru
Asta, sau cei doi morti nu stiau probabilitati si primul a nimerit din prostie.

[Cd]

Uite doua rezolvari pentru cabluri. Prima rezolvare e buna chiar pentru o problema cu conditii mai severe, in care becul si bateria sunt legate in serie si nu pot fi folosite decat asa, ca tester de continuitate, si numai la capatul unde esti tu. A doua foloseste becul si bateria separat, cu becul la capatul unde esti tu, deci nu se pune problema daca vezi sau nu capatul celalalt al cablului. Ambele solutii pot fi extinse pentru mai mult de 10 fire; in particular, a doua functioneaza ca atare pentru orice numar de fire, dar prima s-ar putea sa nu se poata extinde chiar asa de usor.

Solutia 1

La capatul A, legi intre ele firele 1, 2, 3 si 4, separat legi intre ele 5, 6 si 7, in alt grup 8 si 9, iar firul 10 ramane neconectat.

Mergi la captul B, si, cu rabdare, identifici cele patru grupuri de fire. Pentru ca in fiecare grup e un numar diferit de fire, stii deja care grup e care (in particular, stii care e firul 10), mai ramane sa identifici firele individuale din fiecare grup. Fie a, b, c, d firele din primul grup, e, f, g cele din al doilea grup, h si i cele din al treilea, si j = 10 firul din al patrulea grup. Legi j, i, g si d intr-un grup, h, f si c in alt grup, e si b in altul, si pe a il lasi singur.

Te intorci in capatul A, desfaci legaturile, si, din nou cu rabdare si migala, identifici cele patru noi grupuri. Corespondenta este:

j e 10, si e in grupul de patru;
i e 8 sau 9, si e in grupul de patru;
h e 8 sau 9, si e in grupul de trei;
g e 5, 6 sau 7, si e in grupul de patru;
f e 5, 6 sau 7, si e in grupul de trei;
e e 5, 6 sau 7, si e in grupul de doua;
d e 1, 2, 3 sau 4, si e in grupul de patru;
c e 1, 2, 3 sau 4, si e in grupul de trei;
b e 1, 2, 3 sau 4, si e in grupul de doua;
a e 1, 2, 3 sau 4, si e singur.

Solutia 2 (idee sugerata de Aki, dar a avut nevoie de o mica modificare ca sa si mearga)

La capatul A, legi bateria la doua fire, si pe celelalte le legi intre ele doua cate doua, formand patru perechi.

Te duci la capatul B, si identifici usor, folosind becul, firele la care e legata bateria; legi becul la unul dintre firele astea, si folosesti celalalt fir si celalalt terminal al becului ca tester de continuitate; gasesti si celelalte patru perechi, fara insa sa afli care-i care. Lasi acum unul dintre firele de la baterie neconectat; legi celalalt fir de la baterie la un fir dintr-o pereche; legi celalat fir din pereche la un fir din alta pereche; si tot asa, pana ramai cu un singur fir, pe care il lasi neconectat. Cu numere, asta ar veni asa: (1, 2) e perechea cu bateria, (3, 4), (5, 6), (7, 8) si (9, 10) sunt celelalte patru perechi; lasi 1 si 10 neconectate, si legi (2, 3), (4, 5), (6, 7) si (8, 9).

Te intorci la capatul A, desfaci legaturile initiale si, folosind bateria si becul ca pe un tester de continuitate, identifici cele patru perechi si cele doua fire stinghere, din care unul a fost conectat la baterie: ala e 1, celalalt e 10. Al doilea fir care a fost conectat la baterie e 2, si cel din perechea lui e 3; cel care a fost in pereche cu 3 e 4, iar perechea de acum a lui 4 e 5; si asa mai departe.

[Cd]

Minos, la problema cu cei doi oameni de la intersectie, ca s-o rezolvi dintr-o singura intrebare, trebuie sa faci astfel incat sa stii exact daca ceea ce ti se spune despre drum e adevarat sau fals; cu alte cuvinte, sa stii de cate ori a fost "deformat" adevarul. Cum tot ce stii e ca exact un om dintre cei doi minte, tot ce ai de facut e sa pui o intrebare in al carei raspuns sa participe fiecare, o singura data. O astfel de intrebare ar fi "ce ar spune colegul tau daca l-as intreba care este drumul bun?", si raspunsul ar fi, invariabil, pe dos (cel care spune adevarul ar reproduce minciuna celuilalt, cel care minte ar intoarce pe dos raspunsul primului). Problema e frumoasa, dar realitatea cruda e ca nu are solutie, pentru ca mincinosul poate sa minta si altfel decat oferind o negatie precisa: raspunsuri in concordanta cu enuntul problemei sunt si "nu stiu", sau "ar spune ca ambele sunt bune", sau "ar refuza sa-ti raspunda", sau "imi pare rau, dar colegul meu e redus mintal si nu ar intelege intrebarea".

Ivan, demonstratia ca nu pot sa existe cifre mai mari decat 3 este asa: presupunem prin absurd ca exista o cifra cel putin egala cu 4. Fie sirul de la primul pas la care apare cifra asta; cum cifra nu apare in sirul de la pasul precedent, inseamna ca exista cel putin patru cifre consecutive identice in acel sir. Daca prima cifra din cele cel putin patru e prima cifra dintr-o pereche (cea care exprima numarul de repetitii), atunci a doua si a patra reprezinta cifrele care se repeta, si care sunt aceleasi, deci reprezentarea e incorecta, pentru ca o secventa de cifre care se repeta trebuie exprimata ca o singura pereche (adica 11111 este cinci de 1, nu doi de 1 si inca trei de 1). Analog, daca prima cifra din grupul de cel putin patru e a doua dintr-o pereche care codifica un grup de cifre consecutive identice, ea reprezinta cifra care se repeta, si atunci a treia reprezinta cifra care se repeta in urmatorul grup, si care ar trebui sa fie diferita, dar nu e, deci am ajuns iar la o contradictie. In concluzie, premisa ca ar exista o cifra mai mare de 3 e falsa.

USS_001, la problema cu vopsitul caselor, ca s-o pastrezi la nivel de clasa a patra (nu cred ca merge la a treia, daca imi aduc eu aminte bine ce am invatat atunci), poti sa formulezi solutia asa: in 15 ore, eu as vopsi cinci case ca aia; in 15 ore, tu ai vopsi trei; in total, lucrand impreuna, in 15 ore am vopsi opt case, deci am vopsi o casa in opta parte din 15 ore, adica in 15/8 ore, adica, asa cum s-a mai spus, intr-o ora, 52 de minute si 30 de secunde. Sa nu ma intrebi insa de unde scoate copilul de clasa a patra pe 15.

_______________
Timpul a expirat, toata lumea sa puna creioanele... umm... pensulele jos!

[Ivan]

DatZasH, te cred ca stiai demonstratia dar "iti dau pe ea" toata berea pe care o pot eu bea mai putin una.

[Minos]

la faza cu bila care se afla intr-o cutie opaca , hai bai fii serios . Ce draq am avut restanta la probabilitati ( restanta in anul 2 la ASE , cunoscatorii stiu despre ce vorbesc ) . raspunsul este 1/2

[El Torque]

Mai exista la problema cu intersectia o varianta. Sa il fortezi pe mincinos sa spuna adevarul prin 2 negatii
De genul "Daca te-as intreba pe unde sa o iau, ai zice dreapta?"

E adevarat, este (si mai) tras de par decat intrebarea "ce ar spune colegul tau..."

P.S.

Mi s-a atras atentia ca nu e suficient de clar. Iata care e logica din spatele formularii:
Evident, omul corect va raspunde bine. Acum vom vedea de ce si mincinosul va raspunde corect:
Intrebarea poate fi sparta in doua bucati:
1. Pe unde o iau?
2. Daca ti-as cere raspunsul la intrebare, care ar fi el?

In eventualitatea fericita ca mincinosul este destul de subtil astfel incat sa se descurce in formulare , raspunsul va fi corect. Pentru ca....


minus si cu minus fac plus

[USS_001]

Originally posted by Cd
Uite doua rezolvari pentru cabluri. Prima rezolvare e buna chiar pentru o problema cu conditii mai severe, in care becul si bateria sunt legate in serie si nu pot fi folosite decat asa, ca tester de continuitate, si numai la capatul unde esti tu. A doua foloseste becul si bateria separat, cu becul la capatul unde esti tu, deci nu se pune problema daca vezi sau nu capatul celalalt al cablului. Ambele solutii pot fi extinse pentru mai mult de 10 fire; in particular, a doua functioneaza ca atare pentru orice numar de fire, dar prima s-ar putea sa nu se poata extinde chiar asa de usor.

Solutia 1


Solutia 2 (idee sugerata de Aki, dar a avut nevoie de o mica modificare ca sa si mearga)

OK, man ai luat berea de la mine pentru solutia 1! Cool, nu?
Numarul de fire este 1+2+3+...+n fire asa si cum sugereaza modul de rezolvare.

La solutia 2 nu m-am uitat prea atent, o sa verific si o sa-ti mai dau o bere daca merge. O vrei la Londra?
Oricum, daca le-ai rezolvat singur esti TARE.

[Johnny]

Lol, la problema aia cu bilele poti sa bagi si 10.000 de bile albe, scoti 10.000 de bile albe, probabilitatea ca bila ramasa sa fie neagra sau alba e tot 50%.

Baba Rada

[USS_001]

Originally posted by Johnny
Lol, la problema aia cu bilele poti sa bagi si 10.000 de bile albe, scoti 10.000 de bile albe, probabilitatea ca bila ramasa sa fie neagra sau alba e tot 50%.

Baba Rada

nu cred ca e chiar asa...

[March Hare]

Ma, s-ar putea sa nu fie corect, da' zic si eu, ca nu doare. La problema cu bilele, probabilitatea ca bila din interior sa fie alba e de 75%. Acuma nu datzi, ca nu sunt sigur, da' ...

[Panzer]

hai sa-mi dau shi io cu parerea:
1. probabilitatea ca bila ramasa sa fie cea initziala e 50%
2. probabilitatea ca bila initziala sa fie neagra e 50%
3. probabilitatea ca bila adaugata sa fie neagra e 0%.

Dupa extragere, probabilitatea ca bila ramasa sa fie neagra e:

(prob. ca bila ramasa sa fie cea init.)*(prob ca bila init sa fie neagra)+
(prob. ca bila ramasa sa fie cea adaugata)*(prob ca bila adaugata sa fie neagra)=

(50%*50%)+(50%*0%)=25%

Deci 25%.

March_Hare, IMHO aveai dreptate, dar ai spus-o din instinct
Johnny, lumineaza-ma pls, de ce e 50%? Daca in loc de o bila alba adaugam n bile albe, atunci P= 1/(n+1) * 50% + 0%=1/2(n+1). Cind n tinde la infinit, asta tinde la 0, nu la 50%.... Am I right?
btw pt n=10.000, P=1/20.002= 0,0000(49995000) - adica perioada 49995000.

[Panzer]

PS: in toata viatza mea nu am fost decit la 2 ore de probabilitatzi (dintre care 1 era lucrare - shi am luat 9). Deci s-ar putea sa fi greshti FOARTE tare, caz in care va rog nu ma injuratzi prea tare

[The Queen Of Blades]

da...
Probabilitatile sunt mai perfide decit par la prima vedere.

Pentru ca mai multi au spus 75%... si pentru ca sunt fermecatoare, draguta (&modesta) si in dispozitie buna, nu pot decit sa ma conformez cumva vointei populare ...si sa construiesc problema la care intr-adevar se potriveste acest raspuns:

Daca ai ustensilele mai sus pomenite si introduci DOUA bile albe, apoi extragi una la intimplare, care se intimpla sa fie alba! si apoi inca una ...culmea, tot alba! ei, da, atunci probabilitatea ca ultima bila ramasa in interior sa fie alba este 3/4 (75%).

Pentru problema cu o singura extragere, de la care a inceput totul, raspunsul e usor diferit...

[AxA]

Hehe.

Daca bagi X bile albe si scoti X bile albe, probabilitatea ramane cat era la inceput, nu avem date ca sa stim cat era... Deci nu 50%, ci pur si simplu cat era la inceput...

[Entropy]

Problemele de genul asta sant mult prea... perfide/elusive. Cred ca cel mai bine se rezolva babeste (empiric). Adica facem operatia de 100 ori, si vedem care sant procentele experimentale

[AxA]

Macar ai citit problema, Entropy?

Cum scoti tu o bila alba intentionat???? Esh... sterge repede postu'

[TheBlueScreens]

Queen Of Blades: Doh... Ce problema e asta ? Daca bag una alba, si scot una alba e ca si cum n-as fi bagat nimic. Deci probabilitatea ca bila ramasa sa fie alba e nedeterminabila din datele oferite (respectiv e aceeasi cu probabilitatea ca bila initiala sa fi fost alba).

[TheBlueScreens]

Doh... Una mai baieteasca .

Trei baieti cheflii se gandesc sa dea o tura pe la bagaboanta satului. Zis si facut, da' cand au ajuns acolo au descoperit ca n-au decat 2 prezervative. Cum fac ei sa si-o puna toti trei cu madam', astfel incat sa nu existe vreun risc de vro' boala ceva, nici de la cucoana, si nici intre ei ?

Hehe, sexu' e normal, sa nu-mi veniti cu felurite tehnici & scheme, ca nu se pune .

AxA: Nu vazusem postu' tau la aia cu bilele .

[Johnny]

Nu sint de acord. Cum zicea axa, ai o bila necunoscuta care poate fi alba sau neagra (50% pentru fiecare). Bagi 10.000 de bile albe. Daca calculezi acum probabilitatea sa scoti o bila neagra atunci intradevar combini cele 50% sanse sa fie o bila neagra in cutie cu 1/10001 probabilitatea de a o scoate exact pe aceea. Daca insa scoti 10.000 de bile albe problema se reduce la ipoteza: 50%...
Problema e exact ca "experimentul ruletei": bila cade pe 0 (probabilitate 1/37). Ruleta se invirte din nou - probabilitatea ca bila sa cada din nou pe cifra 0 este tot 1/37. Incerci a treia oara - aceeasi probabilitate. A n-a oara - la fel. Nu combini probabilitatile acolo unde nu este cazul.
Din ce imi mai aduc io aminte, at least.

[USS_001]

Originally posted by TheBlueScreens
Doh... Una mai baieteasca .

au descoperit ca n-au decat 2 prezervative. .

AxA: Nu vazusem postu' tau la aia cu bilele .

Nu vreau sa stiu de unde stii tu problema asta.
primul - Le pune pe amandoua unul peste altul
al doilea - foloseste primul prezervativ pe dos
la treilea - folosete ultimul prezervativ pe dos.

Acuma, nu pot sa garantez ca cucoana nu o sa ia ceva de la primul.