Probleme de matematica (elementara)

[ATB]

aaa...da, nu am fost atent!

[Ivan]

Originally Posted by ATB

prin puterile lui 5 eu inteleg 5^2;5^3, iar in produsul ala nu vad nicio putere a lui.
eu am facut asa:

30*40*50*60*70*80*90*100- 10 zero-uri
32*35-1 zero; 42*45-1 zero; 52*55-1 zero; 62*65-1 zero; 72*75-1 zero; 82*85-1 zero; 92*95-1 zero.
in total 17.

unde gresesc?

Pai in produsul ala apare 5^

18

, de unde si

18

zerouri.

[Proof_ro]

S-a prins careva cum se rezolva prb cu uriasul? Nu imi dau seama de unde pornesti. Any ideas?

[Chuckila]

Originally Posted by Proof_ro

S-a prins careva cum se rezolva prb cu uriasul? Nu imi dau seama de unde pornesti. Any ideas?

Pai cam da.

Exista 9 pagini care au cate o cifra, 90 pagini cu 2 cifre, 900 pagini cu 3 cifre si 213 pagini cu 4 cifre pentru un total de 3741 cifre. Daca dupa ce s-a rupt foaia au ramas 3734 cifre, rezulta ca pe foaia lipsa se regasesc 7 cifre. 7 cifre se pot obtine doar din 3+4, adica 999+1000 - acestea fiind cele doua pagini ale cartii care au fost rupte

[Bogotta]

Kind of strange ......

[Asi]

Originally Posted by Bogotta

Kind of strange ......

Nu poti simplifica cu 0, adica a-b unde a=b
Altfel e corect
De exemplu 0*7=0*5, daca "simplificam" 0, ramanem cu 5=7 si postam rapid pe forum.

[Culprud]

1a. 10112358
Ideea e de a porni cu primele 2 cifre cat mai mici pt ca, prin adunare, sa obtin inca numar format dintr-o cifra. Cazurile 00; 01 nu sunt bune (evident de ce), iar 11-> 112358, 20->202246. Este evident ca oricare alta combinatie duce la numere formate din 6 sau mai putine cifre.

1b. 311 si 11; 293 si 29.
Exista 3 cazuri posibile:
i) 3xy+xy=322 sau 300+10x+y+10x+y=322 <=>20x+2y=22 <=> 10x+y=11 cu singura solutie x si y cifre este: x=1, y=1.
ii)x3y+xy=322 sau 100x+30+y+10x+y=322 <=>110x+2y=298 y=149-55x.
dand valori lui x obtinem pt
x y
0 149
1 94
2 39
3 -16
...
evident nu avem solutii naturale in {0, 1..9} pt y.
iii)xy3+xy=322 sau 100x+10y+3+10x+y=322 <=> 11(10x+y)=319 <=> 10x+y=29. se observa imediat ca singura solutie care are x si y cifre este x=2 si y=9.


2a.
Cate cifre sunt folosite pt a numerota paginile cu indexul din 4 cifre?
1000..1212 -> 4*213= 852 cifre => mai raman 3734-852=2882 cifre.

Cate cifre sunt folosite pt a numerota paginile cu indexul din 3 cifre?
100..999 -> 3*900=2700 cifre => mai raman 2882-2700=182 cifre

Cate cifre sunt folosite pt a numerota paginile cu indexul din 2 cifre?
10..99 -> 2*90=180 cifre => mai raman 2 cifre cu care pot indexa 2 pagini cu o singura cifra (fila 8, 9)

Deci fila rupat era numerotata cu 6 si 7.

2b. 1976+23=1999
Se poate face observatia ca anul nasterii fiind de forma 19xy, Varstra 1+9+x+y (cu x si y cifre) <28,
trebuiesc luati in consideratie un numar limitat de ani de nastere, respectiv ani de nastere mai mari decat 1999-28=1971.
Se mai observa o anumita convergenta pe decade: In timp ce suma cifrelor creste, varstra scade.

1970 17 29
1971 18 28
1972 19 27
1973 20 26
1974 21 25
1975 22 24
1976 23 23
1977 24 22
1978 25 21
1979 26 20

1980 18 19
1981 19 18
1982 20 17
1983 21 16
1984 22 15
1985 23 14
1986 24 13
1987 25 12
1987 26 11
1988 27 10
1989 28 9


3a. 4pitza in 3 parti si 3 pitza in 4 parti. Obtin astfel 12 sferturi de pitza si 12 treimi.

3b. se numara multiplii puterilor lui 5:
- 3 de 5^2-> 50, 75, 100.
- 12 de 5^1-> 30, 35, 40, 45, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 90, 95
=> 3*2+12*1=18 ( "ca 2 avem destul " )



4a.O solutie:
9 19 5
7 11 15
17 3 13

fie:
a1 a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9

adunand pe cele 3 coloane, 3 randuri si 2 diagonale obtinem:
2(a2+a4+a6+a8)+3(a1+a3+a7+a9)+4*a5=8*s, unde s este suma pe care trebuie sa o obtin.
<=> 2(a1+a2+..a9)+(a1+a5+a9)+(a3+a5+a7)=8*s
<=> 2*99+s+s=8s <=> s=2*99/6=33
s=33 ne ajuta in cautarea solutiilor. restul e bajbaiala ... pt mine

4b. nu:
Daca coloram patratelele ca la tabla de sah, vom avea patratele albe si negre.
Trecerea intr-un patrat alaturat insemna schimbarea culorii.
De oriunde am pleca (ex: patratel alb), dupa parcurgerea tuturor patratelelor (21 patratele -> schimb culoarea de 20 de ori), ma voi gasi intr-un patratel de aceiasi culoare ca cel din care am plecat (cazul nostru: alb), deci nu voi putea pasi decat in patratele negre. cctd

A fost distractiv

---------- Post added at 11:51 ---------- Previous post was at 10:24 ----------

5 Fesuri.

Un sultan amator de logica, hotaraste sa gratieze 3 supusi condamnati la moarte, daca reusesc sa rezolve urmatoarea problema:

Le arata condamnatilor 3 fesuri rosii si 2 negre, ii leaga la ochi, le pune cate un fes pe cap fiecaruia, si ii aseaza in sir indian (desi erau turci ), dupa care ii dezleaga la ochi.

Cum erau asezati, al 3-lea turc vede culoarea fesurilor turcilor 2 si 1, al 2-lea vede culoarea fesului primului turc, iar primul vede ... gadele

Sultanul le spune ca, daca fiecare turc raspunde corect la intrebarea "ce culoare are fesul de pe capul sau" si macar unul stie precis ce culoare are fesul sau, ii gratiaza pe toti 3.

#Al 3-lea turc se uita la culoarea fesurilor celor 2 din fata sa si raspunde (corect ): "Nu pot sti ce culoare are fesul de pe capul meu".

#Al 2-lea turc asculta ce a zis al 3-lea, se uita la culoarea fesului primului turc si raspunde si el (corect ): "Nici eu nu pot sti ce culoare are fesul de pe capul meu".

#Primul turc se uita la gade , tine cont de ce au zis colegii sai si raspunde corect care este culoarea fesului sau.

E adevarat ca turcii erau "putin" mai motivati. Voi puteti reface rationamentul lor?

.............

O forma mai generala a problemei a fost tratata pe acest thread, acum mai multi ani.

[Chuckila]

Daca primul nu a putut spune culoarea fesului lui, inseamna ca cei doi din fata lui nu aveau ambi fesul negru. Asadar, fie ambii au fesul rosu, fie unul are fesul rosu si unul negru. Deci raman trei posibile scenarii: P2 (persoana numarul doi din sir) - rosu P1 - rosu, P2 - negru P1 - rosu, P2 rosu P1 negru

Cand al doilea condamnat nu poate determina culoarea fesului lui, inseamna automat ca fesul celui din fata lui este rosu. Daca ar fi fost negru fesul din fata lui, atunci automat al lui nu era negru si ar fi putut raspunde "rosu" (daca cel din fata lui ar fi avut fesul negru, singura combinatie posibila din cele de mai sus in care P1 poate avea culoarea neagra la fes, stiind raspunsul celui care i-a vazut pe amandoi este cea in care el are culoarea rosie la fes).

Asadar, cel de-al treilea, pe baza raspunsurilor celor dinaintea lui, poate sa deduca in mod logic faptul ca el poarta un fes rosu.

Originally Posted by Culprud

5 Fesuri.

Un sultan amator de logica, hotaraste sa gratieze 3 supusi condamnati la moarte, daca reusesc sa rezolve urmatoarea problema:

Le arata condamnatilor 3 fesuri rosii si 2 negre, ii leaga la ochi, le pune cate un fes pe cap fiecaruia, si ii aseaza in sir indian (desi erau turci ), dupa care ii dezleaga la ochi.

Cum erau asezati, al 3-lea turc vede culoarea fesurilor turcilor 2 si 1, al 2-lea vede culoarea fesului primului turc, iar primul vede ... gadele

Sultanul le spune ca, daca fiecare turc raspunde corect la intrebarea "ce culoare are fesul de pe capul sau" si macar unul stie precis ce culoare are fesul sau, ii gratiaza pe toti 3.

#Al 3-lea turc se uita la culoarea fesurilor celor 2 din fata sa si raspunde (corect ): "Nu pot sti ce culoare are fesul de pe capul meu".

#Al 2-lea turc asculta ce a zis al 3-lea, se uita la culoarea fesului primului turc si raspunde si el (corect ): "Nici eu nu pot sti ce culoare are fesul de pe capul meu".

#Primul turc se uita la gade , tine cont de ce au zis colegii sai si raspunde corect care este culoarea fesului sau.

E adevarat ca turcii erau "putin" mai motivati. Voi puteti reface rationamentul lor?

.............

O forma mai generala a problemei a fost tratata pe acest thread, acum mai multi ani.

[nici_o_schema]

Turcul 3 daca ar fi vazut ca turcii 1 si 2 au amandoi fesuri negre ar fi stiut ca el are fesul rosu pt ca sunt doar 2 fesuri negre. Dar el spune ca nu stie. Deci cel putin unul din turcii 1 si 2 au fes rosu.

Turcul 2 aude acest lucru. Daca l-ar fi vazut pe turcul 1 purtand fes negru ar fi stiut ca el e cel cu fesul rosu.

Auzind-ul pe turcul 2 raspunzand ca nu stie, turcul 1 isi da seama ca el poarta fes rosu.

[Ivan]

@Culprud: ai numarat gresit la IIa. Implicit raspunsul este gresit.

[Culprud]

@Ivan:

Macar e buna ideea de rezolvare. Poate primesc ceva puncte pt asta

Fac ff multe greseli. Unele el vad si corectez, altele-mi scapa . Zi-mi unde anume am gresit ca nu m-am prins. Tx!

[Ivan]

Nu mai pun spoiler la rationament ca deja problema e veche.

Numerotarea incepe la pagina 1 (foaia cu paginile 6-7 nu exista, btw ).
Daca la sumele de la 4 cifre (852), 3 (2700) si 2 (180) mai adaugi primele 9 pagini (cu o cifra, 9 in total) rezulta 3741 cifre in total. Dupa "operatie" raman 3734 cifre, deci lipsesc 7. Singura foaie cu un total de 7 cifre este

999-1000

.

[Culprud]

Vina mea. Am inteles gresit enuntul si deci si rationamentul e gresit. Deci nu primesc nimic...

Prin paginile ramase am inteles paginile ramase dupa pagina rupta si nu toate paginile ramase din carte.

Poate o enuntare mai clara nu strica :P

Tx Ivan!

[Taw]

Nu e chiar o problema de matematica elementara, dar mi s-a parut interesant.

Trei oameni intra intr-un hotel, platesc 30$ receptionistului si pleaca la camera lor. Receptionistul isi aduce aminte ca de fapt trebuiau sa plateasca doar 25$ pentru camera asa ca trimite un angajat cu 5$ sa ii returneze celor trei clienti. In drum spre camera acestora, angajatul se gandeste ca o sa fie greu pentru cei trei sa imparta 5$ asa ca isi opreste el 2$ si ofera fiecaruia cate 1$. Cum fiecare din cei trei clienti a platit 10$ si a primit inapoi 1$, rezulta ca fiecare a platit 9$, cei trei insumand 27$. Angajatul a oprit 2$ care adaugati celor 27$ insumeaza 29$. Unde este 1$?

[Chuckila]

Rationamentul, din momentul in care receptionerul a pastrat banii si a dat cate $1 inapoi celor trei oameni, este gresit.

Daca ar fi sa continuam logica acestei fraze: "Cum fiecare din cei trei clienti a platit 10$ si a primit inapoi 1$, rezulta ca fiecare a platit 9$, cei trei insumand 27$. Angajatul a oprit 2$ ...." ar trebuie sa arate asa: "...care scazuti din cei 27$, dau $25 cat au platit in final cei trei oameni la receptie"

Sau, ca sa o luam pe calea intoarsa, "Cum cei trei clienti au platit impreuna 25$ la receptie, angajatul a oprit 2$ iar fiecare din cei trei clienti au mai primit cate 1$ inapoi. 25$+2$+3$=30$, banii care au iesit initial din buzunarele clientilor"

Originally Posted by Taw

Nu e chiar o problema de matematica elementara, dar mi s-a parut interesant.

Trei oameni intra intr-un hotel, platesc 30$ receptionistului si pleaca la camera lor. Receptionistul isi aduce aminte ca de fapt trebuiau sa plateasca doar 25$ pentru camera asa ca trimite un angajat cu 5$ sa ii returneze celor trei clienti. In drum spre camera acestora, angajatul se gandeste ca o sa fie greu pentru cei trei sa imparta 5$ asa ca isi opreste el 2$ si ofera fiecaruia cate 1$. Cum fiecare din cei trei clienti a platit 10$ si a primit inapoi 1$, rezulta ca fiecare a platit 9$, cei trei insumand 27$. Angajatul a oprit 2$ care adaugati celor 27$ insumeaza 29$. Unde este 1$?

[Culprud]

Daca la cei 27 de lei, pe care i-au platit clientii, aduni cei 3 pe care i-au primit ca rest, obtii 30: cat au platit ei initial.

Daca din cei 27 de lei, pe care i-au platit clientii, scazi 2 cat "si-a tras" angajatul, obtii 25: costul real al camerelor.

Daca la cei 27 de lei pe care i-au platit clientii aduni (?!?) 2 "ciubucul aluia", atunci se cheama ca aduni mere cu pere si e normal sa iasa ... problema.